PERSAMAAN LAPLACE

Persamaan Poisson dituliskan       , yang berarti ada sumber medan listrik. Dalam banyak kasus, kita harus memecahkan persamaan ini di wilayah yang tidak mencakup ditribusi muatan, yaitu   untuk daerah bebas muatan r=0

                 ® persamaan Laplace                                                            

Misalkan potensial V hanya bergantung pada satu variabel, yaitu x  saja, maka persamaan Laplace menjadi:

 , dengan    persamaan diferensial biasa.

Persamaan Laplace dalam Sistem Koordinat

·         Koordinat Kartesian

Dalam hal bidang batas dan syarat batas memiliki simetri bidang, penggunaan sisitim koordinat kartesian seringkali memudahkan persoalan. Metoda yang banyak dipakai adalah metoda pemisahan variabel (peubah). Dalam metoda ini solusinya dimisalkan merupakan perkalian beberapa faktor yang masing-masingnya hanya merupakan fungsi dari satu variabel saja.. keuntungan metoda ini sangat nyata dalam hal syarat batasnya juga dapat difaktorkan atas fungsi-fungsi dengan satu variabel

·         Koordinat Bola

Dalam hal syarat batasnya mempunyai simetri bola, pemecahan persamaan Laplace  dengan menggunakan koordinat bola lebih memadai. Dalam koordinat ini persamaan Laplace mempunyai bentuk seperti yang diberikan oleh persamaan dibawah ini               

              (3.49)

Cukup banyak persoalan yang memiliki simetri azimut, karena itu kita akan mengkhususkan diri pada kasus ini. Dalam hal ini potensialnya tidak bergantung kepada variabel